En las raíces o radicales diferenciamos dos partes: el radicando o cantidad subradical, que es el número que se encuentra dentro del radical; y el número índice, que es el número que marca la raíz. ... - Raíz como potencia con exponente fraccionario. - Multiplicación y división de radicales con mismo número índice.

    

El menor índice que puede tomar el radical es el número 2 o raíz cuadrada como muchos lo conocemos. Esta raíz al igual que el exponente 1 no se escribe, pero se sabe que es una raíz cuadrada.

Ahora que conocemos el concepto de la raíz de número, pasemos a lo que nos concierne: las leyes de los radicales o raíces. 

1.- RAÍZ "n" DE UNA POTENCIA "n"

Al principio te comenté que la radicación o más bien la extracción de la raíz de una expresión o número es lo contrario a la potenciación o elevación de un elemento. De este concepto da lugar a la primera ley que dice: Sí extraemos la raíz n a un número "x" elevado a la n potencia, entonces obtenemos como resultado a la base, ósea x. 

2.- EL EXPONENTE FRACCIONARIO

Si tenemos una raíz  n-ésima y queremos transformarla en una potencia, o viceversa, solo basta poner al radicando elevado a su potencia, la cual es dividida por el índice de la raíz. El exponente del radicando es el numerador del exponente, y el índice de la raíz es el denominador.

Nota: Sí el índice 1 de la raíz existiera (la mínima raíz es la cuadrada o de índice 2), entonces tendríamos que:

La primer ley de hecho es un caso especial, cuando el índice y el exponente son los mismo (digamos índice a y potencia a) entonces tenemos que

3.- RAÍZ DE UNA FRACCIÓN

Si tenemos una fracción a/b como radicando, podemos simplificar la operación aplicando esta ley. Si una raíz "n" opera a una fracción, entonces puede igualarse a la raíz "n" de a entre la raíz "n" de b: 

Un ejemplo de esta ley sería el siguiente:

4.- RAÍZ DE UNA RAÍZ

Así como existe potencia de una potencia, también existe raíz de una raíz y el concepto de ambos es el mismo. Si tenemos una raíz n y aplicamos una operación de raíz de índice m sobre la primera, entonces podemos simplificar la operación al multiplicar los índices y crear una nueva raíz de índice n(m):

5.- POTENCIA DE UN PRODUCTO

Si una raíz "n" se aplica a un producto, entonces podemos dividir esta raíz en raíces individuales una por cada uno de los términos. De forma inversa, si tenemos varias raíces, aunque sean diferentes radicandos, de igual índice podemos formar una sola raíz de índice "n" en donde el radicando será el resultado de multiplicar los radicandos de las raíces originales: